ДИСТАНЦИОННАЯ ПОДДЕРЖКА
учителей математики
«Процессы и их математические модели»
Чистяков В.В
к.ф.-м.н.,
доцент кафедры ЕМД
Методические рекомендации
Преподавание должно быть построено так, что от известных ученикам из базового либо профильного курса математики понятий, фактов, свойств, теорем и т. д. мостик перекидывается на их логическое продолжение/обобщение. А последние оказываются зачастую подчиненными одной математической идее.
Предлагаемый автором учебно-тематический план, содержание курса и оригинальный дидактический материал позволяют это сделать. Схема изложения материала реализована по принципу кластера (cluster— гроздь), или даже фрактала — сложной самоповторяющейся структуры. От учителя и аудитории зависит, насколько глубоко можно внедряться в структуру этого фрактала, каждая часть которого имеет самостоятельное значение, и может даже быть выбрана в качестве темы небольшого курса.
Так от числовой последовательности, не чисто, абстрактно — но как реализации дискретного процесса, мостик перекидывается к рекуррентным законам их задания, и частным случаям этих законов — линейным дискретным и разностным уравнениям. Здесь важно дать учащимся понятие детерминизма, не изначально заданного готовой формулой, но обеспеченного начальными условиями и перманентно действующими связями между величиной и темпами ее изменений. Это понятие все более выпукло выступает в современном математическом школьном образовании как прямая противоположность стохастическому поведению, изучаемому во вновь введенной «Стохастической линии». (О детерминизме ни в одном школьном учебнике ни слова (!?) — автор обнаружил только в энциклопедии для детей). Одновременно, рассматривая последовательности, более обстоятельно изучается такое фундаментальное понятие, как предел выражения, на котором стоит математический анализ.
От нахождения первообразной, удовлетворяющей некому условию, мостик перекидывается к задаче Коши по нахождению частного решения по известным начальным условиям. Само нахождение первообразной представляется по-новому для учащихся, а именно, как решение неполного дифференциального уравнения с правой частью в виде интегрируемой исходной функции.
От однопараметрического семейства линий y = f(x;C) — прямых, окружностей, пара-бол, гипербол и т. д., трактуемого при решении задач с параметрами как эволюция линии заданного типа на плоскости, мостик перекидывается на универсальное (для любых C) дифференциальное соотношение (уравнение) типа F(y’,y,x) = 0, задающее это семейство. При этом «убивается» сразу несколько «зайцев»: учащиеся тренируют индуктивную составляющую мышления, на наглядном уровне усваивают идею общего решения дифференциального уравнения, узнают решения простейших ДУ, вид и свойства их интегральных кривых. Но, самое главное, учащиеся тренируют свое плоскостное воображение, под которым подразумевается умение держать в сознании процесс трансформации параметризованной линии, анализировать и классифицировать качественно различающиеся случаи взаимного расположения линий, фигур и т.д..
Перед уроком дидактический материал должен быть тщательно проработан и на уроке повторно используем в модифицированном виде, чтобы не терять время, ученические внимание и силы на воспроизводство рутинных вычислений, выкладок и т.д. Не все задачи, приведенные в Приложении 1 надо решать подробно, досконально, но необходимо взять один или несколько ключевых моментов, остальные — предназначив для дифференцированного домашнего задания.
Определенные задачи (маятник с трением, контур с затуханием, рыси— зайцы, биржа) разбираются без выкладок, на чисто качественном уровне, опираясь на здравый смысл и жизненные наблюдения учащихся. Здесь уместна такая форма работы в классе, как дискуссия, обмен мнениями, спор. Учитель должен донести школьникам основную математическую идею, подкрепленную графическим или медиа-материалом.
Система индивидуальных заданий, заданий ученикам на проработку вопроса для выступления перед классом и др. виды выполняемых учащимися работ должны обеспечивать дифференцированный подход, как по способностям, так и по интересам. Эти задания выдаются накануне с необходимыми источниками информации в бумажном или электронном виде.
Особенно важно, чтобы, решив ту или иную задачу, ученики делали обобщающий вывод. Например, сумма первых n членов степенной последовательности ak=km есть полином степени m+1 от n, точно так же, как первообразная от степени n ≥ 0 есть степень n+1.
При изучении моделей дискретных процессов автор рекомендует решать задачи как финансового содержания — банковские проценты, ипотечные платежи, индексацию де-нежных средств и т. д., так и на многократное смешивание растворов, и те и другие опи-сываются одинаковыми либо схожими уравнениями. Педагог вправе сам выбирать последовательность изложения: от общего к частному, либо наоборот.
Общность свойств разностных и дифференциальных уравнений активно эксплуатируется при моделировании непрерывных процессов в механике, электричестве, экономике и др. Так, метод решения однородных и неоднородных линейных ДУ во многом схож с методом решения разностных уравнений, и качественные выводы здесь аналогичные. Это, во-первых, должно способствовать успешности школьников и мотивировать их самостоятельную исследовательскую работу. Во-вторых, научить школьников , как одному из основных в математическом моделировании. (В последнее время математики, решая прикладные задачи, все более широко используют даже биологические аналоги: нейронные сети, генетический алгоритм, алгоритм колонии муравьев и др.)
В качестве вычислительных инструментов можно использовать калькулятор, как реальный инженерный, так и бухгалтерский. Рекомендуется обучить детей пользованию опцией «Статистика», что необходимо как для вычисления степенных сумм, так и на уроках стохастической линии. Также можно использовать компьютерный продукт Exel.
Если в школе имеются диски с программами «Открытая математика» и «Открытая физика» фирмы «Физикон», то их также можно использовать для демонстрации графиков процессов в зависимости от начальных условий и параметров.
Каждый из модулей электива может служить единицей для другого предмета, поэтому контроль осуществляется по каждому модулю и по всему ЭП. Этот контроль должен быть разноуровневым, чтобы каждый учащийся мог определить для себя степень погружения в предмет — от минимального ознакомительного до продвинутого углубленного.
Учителю необходимо продумать ведение учениками плана-конспекта каждого урока и разработать свой лекционный конспект с цитируемой учебной и научной литературой, желательно и в электронном виде. Этот конспект доступен ученикам и их родителям, по возможности помещен на сайт школы. Что же касается ученических конспектов, то можно объявить конкурс на лучший конспект, предварительно обозначив критерии оценки и правила ведения. Эти конспекты могут пополняться самими учащимися, найденным ими материалом по теме, инициативно решенными задачами и т.д.
Принцип здесь известный — «Твори, выдумывай, пробуй!» Не возбраняется составление конспекта в виде компьютерной презентации с анимациями, 3-х мерной графикой и пр. Такого рода работы должны засчитываться в портфолио проектов ученика и выставляться на конкурс, после совместной с учителем доработки выставляться на сайт, чтобы учащиеся и их родители смогли ознакомится с достижениями