ДИСТАНЦИОННАЯ ПОДДЕРЖКА
учителей математики
«Процессы и их математические модели»
Чистяков В.В
к.ф.-м.н.,
доцент кафедры ЕМД
Содержание изучаемого курса
Модуль I
Понятие процесса. Дискретная и непрерывная модели времени. Законы, как соотношения между величиной (показателем) и темпами ее изменения.
Числовые последовательности заданные явно и рекуррентно. Прогрессии и цепные дроби, как рекуррентно заданные последовательности. Сравнение монотонных последовательностей по величине, скорости изменения; существование предела.
Дискретные (разностные) уравнения для описания динамики дискретного процесса. Методы решения и исследования линейных уравнений. Вековое (характеристическое) уравнение и его корни. Понятие об общем и частном решениях. Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянной (линейной, квадратичной по n) и показательной правой частью.
Частное решение, как эволюция начальных условий, понятие детерминизма.
Последовательность Фибоначчи, как решение разностного уравнения an+1-an= an-1 с начальными условиями a0=0, a1=1. «Золотое сечение» и его практическое значение.
Моделирование и решение задач экономического содержания. Эволюция экономики инвестиций и потребления.
Две проблемы векового уравнения: теорема Абеля и отсутствие действительных корней. «Анти-Фибоначчиевы» числа an+1-an= -an-1.
Модуль II
Матрицы и действия над ними. Линейные рекуррентные соотношения в матричном виде. Единичная и обратная матрица. Матричные уравнения.
Комплексные корни векового уравнения. Графическое представление комплексных чисел и действий над ними.
Матричное представление комплексных чисел. Изоморфизм в математике. Функции от квадратных 2х2 матриц.
Матричные модели в экономике. (Ознакомление).
Модуль III
Непрерывные процессы. Функция как реализация непрерывного процесса. Основные виды функциональных зависимостей. Задачи на непрерывные процессы (работа, движение и т.д.).
Параметризованная линия как процесс эволюции кривой. Задачи с параметрами. Метод однопараметрических семейств. Метод парабол.
Исследование и анализ готовых моделей на валидность. Работа с готовыми моделями.
Дифференциальные уравнения и их системы, как математическая форма законов в науке (радиоактивный распад, колебания, торможение и др.). Линейные дифференциальные уравнения. Общее и частное решения. Задача Коши. Единственность и продолжаемость решения, как проявление детерминизма. Характеристическое (вековое) уравнение. Случай действительных и мнимых корней. Монотонные и периодические решения. Понятие о динамической системе.