I. Цель урока - рассмотреть несколько арифметических способов решения одной и той же задачи, научить учащихся выбирать наиболее рациональный путь решения.
- II. Ход урока.
- 1. Самостоятельный поиск решения.
- Задача. В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 6 голов и 20 ног.
Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов?- Сначала устанавливается понимание учащимися того, о каких животных и птицах идет речь.
- 2. Обсуждение способов решения.
- I способ. Метод подбора.
- Учащиеся "угадывают" , что кроликов 4, а фазанов 2.
- Проверяем : 1) голов 4+2=6, 2) ног 4*4+2*2=20.
- Учащиеся знакомятся с названием метода. Рационально ли это решение? Всегда ли удобен это способ?
- II способ.
- Принимает участие несколько человек, решение заносится в таблицу:
Количество Всего кроликов фазанов голов ног 1 5 6 4+10=14 2 4 6 8+8=16 3 3 6 12+6=16 4 2 6 16+4=20 5 1 6 20+2=22
Основываемся на том, что в любом случае животных не больше и не меньше, чем число голов, а именно 6. Затем подсчитывается число ног (работа ведется устно).
Все случаи перебрали! Отсюда и название: "полный перебор".
- III способ.
- Метод предположений.
- Это основной способ решения задач такого типа, так как он позволяет решить задачу с большими числами, где первые два способа будут очень трудоемкими.
- Метод предположения по избытку.
- Предположим, что в клетке только кролики, тогда у них 4*6=24 ноги, т.е. 4 ноги "лишние". Эти ноги принадлежат фазанам. У фазана 2 ноги, значит 4:2=2 фазана в клетке. Кроликов 6-2=4.
- Метод предположения по недостатку.
- Предположим, ч то в клетке были только фазаны, тогда у них 6*2=12 ног, т.е. не хватает 8 ног. Они-то и принадлежат кроликам (по "лишней" паре по сравнению с фазанами). Значит всего 8:2=4 кролика и 6-4=2 фазана.
- 3. Для закрепления метода предлагается та же задача, но уже с чмслами 35 и 94. Какой метод выберут ребята? Почему?
- 35*2 = 70 (ног)
- 94-70=24 (ноги) не достает
- 24:2 = 12 (пар ног, это количество кроликов)
- 35-12=23 (фазана).
- Ребята сами должны назвать все методы, которые были использованы для решения задачи, и оценить их достоинства и недостатки.
- 4. Задание на дом.
- 1. Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоит 5р. за аршин, а черное 3р.?
- 2. Составить задачу, которую можно было бы решить методом предположений.
К задаче можно вернуться в VI классе и решить ее, составив линейное уравнение, а в VII классе - систему уравнений.
Вернемся к задаче о фазанах и кроликах.
Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал ноги, их было 42. сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?
1) Решим эту задачу арифметически.
Допустим, что в клетке были только фазаны. У фазана две ноги, значит всего было бы 2*15=30 ног. а в действительности их было 42, т.е. 12 "лишних" ног. Чьи эти ноги? Конечно, кроличьи, ведь у кроликов на две ноги больше, чем у фазанов. Значит эти 12 ног принадлежат 6 кроликам (12:2=6). Но если кроликов было 6, то фазанов 15-6=9. У шести кроликов 24 ноги, у 9 фазанов 18 ног, т.е. всего 42. Это соответствует условию.
2) А теперь введите переменные величины:
Пусть х - число кроликов, а у - число фазанов. Тогда по условию х+у=15. У кроликов 4х ног, а у фазанов 2у, и по условию 4х+2у=42. Имеем систему уравнений:
х+у=15,
4х+2у=42.
Решаем ее, умножив обе части первого уравнения на 2 и вычитая его почленно из второго:
2х=12, х=б, и 6+у=15, у=9,
Всего фазанов оказалось 9, а кроликов 6.
Как видим, без букв оказалось веселее; но потребовалось больше сообразительности. Не всякий может справиться, а с буквами любой сумеет решить.
Давайте попробуем решить задачу, которую привел А. П. Чехов в рассказе "Репетитор".
(Антон Павлович писал о том, как гимназист Егор Зиберов занимался с ленивым и бестолковым мальчиком Петей Удодовым).
"Учитель берет задачник и диктует:
- "Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 р. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а черное 3 р."
- Повторите задачу.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря начинает делить 540 на 138.
- Для чего же это вы делаете? Постойте! Впрочем так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Давайте-ка я разделю!
Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
"Странно, думает он, ероша волосы и краснея. - Как же она решается? Гм!.. Эта задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая..!"
Учитель глядит в ответ и видит 75 и 63.
"Гм!.. странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8. Так, что ли? Нет, не то!".
- Решайте же! - говорит он Пете.
- Ну, чего думаешь? Задача-то пустяковая! - говорит Удодов Пете. - Экий ты дурак, братец! решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
- Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, - говорит он, - Ее с иксом и игреком решать можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил, понимаете? Теперь вот надо вычесть ... понимаете? Или вот что... Решите мне эту задачу сами к завтрему...Подумайте...
Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще больше конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
- И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. - Вот, извольте видеть...
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
-Вот-с... по-нашему, по неученому. Учителю становится нестерпимо жутко".
Как поступим мы? Давайте сначала составим систему, что гораздо проще:
Пусть х (арш.) было синего сукна, у (арш.) - черного, всего же было (х+у) аршин или 138 аршин по условию. Имеем первое уравнение х+у=138. Все синее сукно стоит 5х р., а черное Зу, вся покупка (5х+3у) р., что по условию равно 540 р. Составляем второе уравнение: 5х+3у=540. Имеем систему
х+у=138,
5х+3у=540.
Умножим на 5 первое уравнение:
5х+5у=690,
5х+3у=540;
откуда 2у=150
y=75,
х+75=138,
х=63.
Итак, черного сукна куплено 75 аршин, а синего -63.
Как же все-таки решил эту задачу отец Пети? Он не мог воспользоваться уравнениями, вычисляя на счетах.
Представим, что купец купил только синее сукно, тогда сколько денег он уплатил бы за покупку?
5*138=690 (р). Это на 690-540=150 рублей больше, чем в действительности. Эти "лишние" деньги откуда взялись? Из разницы в стоимости ткани: 5-3=2 (р). Значит эти 150 р. "лишние", т.к. 150:3=75 аршина ткани более дешевой, черной, а синей 138-75=6? аршина.
Проверьте, та ли сумма получится, если 63*5=315 (р) - синее сукно? 75*3=225 (р) - черное сукно, 315+225=540 (р) - вся покупка.
Решим чуть иначе:
А что получилось бы, если бы купец купил только черное сукно? Больше или меньше он истратил бы денег?
138*3=414 (р)
540-414=126 (р)
Значит эти 126 р. он истратил на более дорогое сукно (на 5-3=2 (р) за каждый аршин). Итак, синего сукна куплено 126:2=63 аршин, а черного 138-63=75 аршин.
Ответ: куплено 63 аршина синего сукна и 75 аршин черного.Какой из способов наиболее простой? Какой потребовал больше логических рассуждений?
Сделайте вывод о том, какими же способами можно решить одну и ту же задачу.