СЕМИНАР N 2
СИЛОВЫЕ ЛИНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ  И ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ СИСТЕМЫ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Система точечных зарядов, находящихся в вакууме, является наиболее простой для изучения. Напряженность электрического поля E1 и потенциал f1 , создаваемые одним точечным зарядом q1 на расстоянии R от него, задаются выражениями

E1 = k*q1 / R^2 и f1 = k*q1 / R , (1)

где постоянная k зависит от выбора системы единиц и входит в закон Кулона. Напряженность поля является векторной величиной, а потенциал - скалярной. Принцип суперпозиции определяет напряженность и потенциал произвольной системы зарядов:

E = E1 + E2 + ... и f = f1 + f2 + ... .

Потенциал и напряженность поля связаны между собой:

E = - grad f .

В частности, проекция поля на ось ОХ равна Ex = - df/dx . В школьном варианте это соотношение можно записать в виде

Ех = - (f2-f1) / (X2-X1) или еще проще E = U / d .

По определению в каждой точке вектор E касателен к силовой линии поля. Для построения силовой линии в некоторой точке определяем направление вектора E, в этом направлении рисуем короткий отрезок, конец этого отрезка становится новой исходной точкой для построения следующего участка силовой линии.

Понятие "силовые линии" для электрических и магнитных полей ввел М. Фарадей.

Поверхность, на которой потенциал имеет постоянное значение, называют эквипотенциальной. В каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор напряженности перпендикулярен ей. Это свойство может являться основой алгоритма построения эквипотенциальных поверхностей. В компьютерном варианте часто выбирают другой алгоритм. В желаемой точке находим потенциал, окружаем выбранную точку контрольными точками, в которых определям значения потенциала. Находим, в какой из контрольных точек потенциал наиболее близок к потенциалу выбранной точки. Затем соединяем эти две точки отрезком, конец которого становится новой исходной точкой для выполнения той же процедуры. В результате на дисплее появляется эквипотенциальная линия - сечение эквипотенциальной поверхности плоскостью экрана.

ЗАМЕЧАНИЯ

Алгоритм построения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей достаточно прост. Часто эта работа является первым пробным камнем при компьютерном моделировании физических процессов. Попробуйте самостоятельно написать аналогичную программу. Появляющиеся на экране картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей очень красивы и пользуются неизменным успехом как у обучающихся, так и у физиков - профессионалов.

Однако в этой простой программе возникает несколько неожиданностей, которые почему-то в известной мне литературе никогда не обсуждаются, хотя за ними кроются достаточно интересные физические вопросы.

Именно этим особенностям посвящается сегодняшний семинар.

Так, при построении силовых линий можно попасть в точку, в которой напряженность поля обращается в нуль. Вектор нулевой длины уже не указывает направления силовой линии. Куда же в этом случае ее вести? Оказывается, что можно пойти по трем направлениям: либо по прямой вдоль линии, пришедшей в особую точку, либо перпендикулярно ей в одну или другую сторону. Если вы свернете перпендикулярно к силовой линии, то получится особая - асимптотическая - линия, которая разделит пространство на две области. В одной области все силовые линии идут к зарядам противоположного знака, а в другой силовые линии уходят на бесконечность. Рассмотрите простой пример: даны два заряда +q и -n*q .

На прямой, проходящей через заряды, поле обращается в нуль. Вблизи особой точки поле равно нулю, поэтому и густота линий должна быть равна нулю. Получается, что мы не имеем права рисовать силовую линию, идущую по участку прямой, проходящей через заряды. Вообще всю эту асимптоту рисовать нельзя. Но она - одна из самых интересных линий в этой задаче!

При рисовании эквипотенциальных поверхностей программиста тоже подстерегают неожиданности, связанные с выбранным алгоритмом построения.

Если эквипотенциальная поверхность проводится перпендикулярно напряженности поля в данной точке, то, рисуя поверхность с малым перемещением от одного места экрана до другого, программа непрерывно накапливает ошибку. В результате вы не вернетесь в точку, из которой начали построения.

Более надежным методом построения эквипотенциальной поверхности является метод окружения текущей точки несколькими другими, в которых проверяется близость потенциала к потенциалу отправной точки. Однако иногда программа, нарисовав участок поверхности, разворачивается на 180 градусов и возвращается в исходную точку точно по уже пройденному пути, что обусловлено симметрией окружения текущей точки.

В программе, созданной на нашей кафедре, для устранения описанных эффектов используются одновременно оба алгоритма. Эквипотенциальная   поверхность строится перпендикулярно силовой линии, и в нескольких ближайших точках контролируется близость потенциала к потенциалу исходной точки. Этакая экзотическая линия, бегущая в определенном направлении и выставившая перед собой щит против ошибок численного счета!

Вблизи особой точки несколько необычно ведут себя и эквипотенциальные поверхности. Рассмотрим снова самый простой пример двух зарядов  разного знака. Если немного сместиться от особой точки в сторону зарядов, то через эту точку будет проходить эквипотенциаль, охватывающая лишь один из зарядов. Если выбранная точка лежит на линии, проходящей   через заряды, то эквипотенциаль охватывает ближайший заряд. Если же подняться чуть выше этой линии, то эквипотенциаль может оказаться сильно изогнутой и будет охватывать наиболее удаленный заряд. При выборе исходной позиции с другой стороны от особой точки получим эквипотенциаль, охватывающую оба заряда.

Если вы решитесь сделать программу построения силовых линий от системы точечных зарядов, то на вашем пути встретится еще немало интересных и достаточно принципиальных вопросов. Например, в каком направлении рисовать первую линию?

Автор благодарен своим студентам, с большим энтузиазмом пробовавшим смоделировать поле системы точечных зарядов. Только в результате обсуждений со студентами тонкостей этой задачи автор решил изготовить собственный вариант программы.