
Кечуткина Татьяна
Васильевна.
Дата рождения -
1964г.
Образование - высшее, МГУ им.
Н.П.Огарева,
факультет "Математика".учитель
математики

Тема :Теорема Пифагора.(2ч.)
Цель: 1. Рассмотреть теорему Пифагора и показать применение
этой теоремы при решении задач.
2. Вызвать
интерес уч-ся к изучению теоремы Пифагора и чтению математической
литературы.
3.
Продолжить формирование навыков самостоятельного изучения доказательств,
отличных
от данных в
учебнике .
4. Развивать
внимание уч-ся к информации учителя на уроке.
План
работы.
1.
Организационный момент.
2.
Историческая справка.
3.
Теорема Пифагора.
4.
Математическая викторина.
5.
Подведение итогов.

О теореме Пифагора
А. фон
Шамиссо
( Перевод А. Хованского)
Уделом истины не может быть забвенье,
Как только мир ее увидит взор;
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день ее рожденья.
За светлый луч с небес вознес благодаренье
Мудрец богам не так, как было до тех пор.
Ведь целых сто быков послал он под топор,
Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.
Быки с тех пор, как только весть услышат,
Что новой истины уже следы видны,
Отчаянно мычат и ужаса полны:
Им Пифагор навек внушил тревогу.
Не в силах преградить той истине дорогу
Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.
Знаменитый греческий философ и
математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около
2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о
Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много
легенд. Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам
Востока, посещал Египет и Вавилон. В одной из греческих колоний Южной
Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа», сыгравшая важную
роль в научной и политической жизни древней Греции. Именно Пифагору
приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе
преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.),
длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна,
отсюда и название – теорема Пифагора.
Не подлежит, однако, сомнению,
что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до
Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и
5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е.
теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при
планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские
строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали,
вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое
проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в
Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. В самом древнем дошедшем
до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би»,
написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений,
относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора.
Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не
открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым
сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в
область науки. Мы не знаем, как он это сделал. Некоторыми историками
математики предполагается, что все же доказательство Пифагора было не
принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде
частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного
треугольника, для которого оно очевидно следует.

С глубокой древности математики находят все новые и новые
доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее
доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или
менее наглядных – известно более полутора сотен, но стремление к
преумножению их числа сохранилось. Думаю, что самостоятельное «открытие»
доказательств теоремы Пифагора будет полезно и современным
школьникам.
Доказательства, основанные
на использовании понятия равновеликости фигур.
При этом можно рассмотреть
доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного
прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и
квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие
доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и
учитывается ряд новых идей.
- На риссунке изображено два равных
квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов
разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников.
Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь
прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные
площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем,
древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не
записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!»
Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и
Пифагор.
Аддитивные
доказательства.
Эти доказательства основаны на разложении
квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить
квадрат, построенный на гипотенузе.
- Доказательство Энштейна основано
на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.
Здесь: ABC – прямоугольный треугольник
с прямым углом C; CОMN; CK^MN; PO||MN;
EF||MN.
Самостоятельно докажите попарное
равенство треугольников, полученных при разбиении квадратов, построенных
на катетах и гипотенузе.
- На рис. 1приведено доказательство
теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового
багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат,
построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2
четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом
C; DE = BF.
Докажите теорему с помощью этого
разбиения.
- На основе доказательства ан-Найризия
выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис.
2 здесь ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).
- Еще одно доказательство методом
разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с
лопастями», приведено на рис.3 Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с
прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете;
пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или
параллельны гипотенузе.
- Это разложение квадратов интересно
тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены
друг на друга параллельным переносом. Может быть предложено много и
других доказательств теоремы Пифагора с помощью разложения квадратов
на фигуры.
Доказательства методом построения.
Сущность этого метода состоит в том, что
к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на
гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились
равновеликие фигуры.
- На рисунке изображена обычная
Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на
его сторонах
квадратами. К этой
фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному
прямоугольному треугольнику.
Справедливость теоремы Пифагора
вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь
CОEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих
четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два
равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A
отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник
ACMQ.
- На рисункеПифагорова фигура
достроена до прямоугольника, стороны
которого параллельны
соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем
этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного
прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же
прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные
прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.
Теперь докажем, что
фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во
втором случае.
- Рисунок иллюстрирует доказательство,
приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PCL –
прямая;
KLOA = ACPF = ACED =
a2;
LGBO = CBMP = CBNQ =
b2;
AKGB = AKLO + LGBO =
c2;
отсюда c2 =
a2 + b2.

- Рисунок иллюстрирует еще одно
более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом.
Здесь:
треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и
равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD
перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной
прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB;
треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих
четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

Алгебраический метод доказательства.
- Рисунок иллюстрирует
доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого
автора Лилавати,
XII в.). Рисунок
сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы
Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее)
занимает доказательство, использующее подобие.
- Приведем в современном изложении
одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору.
На рис. ABC –
прямоугольный, C – прямой угол, CM^AB, b1 –
проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на
гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к
гипотенузе.
Из того, что DABC подобен DACM следует
b2 =
cb1; (1)
из того, что DABC подобен
DBCM
следует
a2 =
ca1. (2)
Складывая почленно равенства (1) и (2),
получим a2 + b2 = cb1 + ca1 =
c(b1 + a1) = c2.
Если Пифагор действительно предложил
такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных
геометрических теорем, которые современные историки математики обычно
приписывают Евклиду.
- Доказательство
Мёльманна.
 Площадь данного
прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна с другой, где p – полупериметр треугольника, r – радиус
вписанной в него окружности Имеем:
откуда следует, что
c2=a2+b2.
- Доказательство
Гарфилда.
На рисунке
три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой
фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо
как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

во втором 
Приравнивая эти выражения, получаем
теорему Пифагора.
Задача.
На берегу ручья , ширина которого 3 м,
рос тополь .Порыв ветра сломал его
на высоте 4 м от
земли ручья так ,что верхушка тополя коснулась другого берега ручья.
Определите высоту тополя ,если известно, что ствол его расположен
вертикально поверхности ручья.
 |
c
2=42+32
c2=25
c=√25=5(м)
4м+5м=9м (
высота тополя)
Ответ: 9 метров
|

-
За что был увенчан лавровым венком
древнегреческий философ и
математик
Пифагор?
-
Как в средние века иначе называют теорему
Пифагора?
-
Почему в Средней Азии теорему Пифагора
называют теоремой
невесты?
-
Какую теорему предлагали каждому , кто держал
экзамен на звание "магистра
математики"?
-
Сколько различных доказательств имеет теорема
Пифагора?
-
Где предлагалось самое короткое
доказательство теоремы Пифагора?
-
Что можно вычислять с помощью теоремы
Пифагора?
-
В каком году и где выпущена самая
оригинальная марка?
-
Сформулируйте теорему Пифагора.
Используемая литература:
1. Учебник геометрии (7-9 Атанасян).
2. В. Литцман "Теорема
Пифагора"М.1960,стр.8.
3. Ф.Г.Петрова
Математические вечера стр.86.
4. Энциклопедический
словарь юного математика М "Педагогика" 1985.
5. Календарь филателиста
1975 г.
6. Глейзер Г.И. История
математики в школе 7-8 класс.
 |