При освоении любой деятельности человек приобретает определенные способности: например, в труде ребенок обретает способность к планированию, в игре - к воображению и действию в уме. В учебной деятельности ребенок обретает способность учить себя, или умение учиться.

Умение учиться, формируемое в учебной деятельности (и не только в ней), редко выделяется из ряда всех школьных умений. Появление этого умения знаменует революционное событие в психическом развитии: с этого момента ребенок из обучаемого, ведомого взрослым, получает возможность стать хозяином, субъектом собственного развития - человеком, обучающим себя, меняющим самого себя сознательно и целенаправленно.

По мысли Д.Б.Эльконина учебная деятельность - это такая деятельность, в которой воспитывается способность к самоизменению. Частичка "само" и указывает на этот качественный скачок в развитии младшего школьника, который может произойти под влиянием школьного обучения. Если переход ребенка к саморазвитию к концу начальной школы произошел, то можно говорить о развивающем характере начального обучения, об обучении, осуществляемом по законам учебной деятельности. А учебная деятельность - это система таких условий обучения, которые делают возможным развитие младшего школьника: появление у него способности к самоизменению.

В.В.Давыдов обосновал необходимость освоения теоретических понятий в учебной деятельности. Учебная деятельность школьников строится в соответствии со способами получения научных знаний, со способом восхождения от абстрактного к конкретному. Мышление школьников в процессе учебной деятельности имеет нечто общее с мышлением ученых, получающих результаты своих исследований посредством содержательных абстракций, обобщений и теоретических понятий, функционирующих в процессе восхождения от абстрактного к конкретному.

Но мышление школьников не тождественно мышлению ученых. Школьники не создают понятий, образов, норм, а присваивают их посредством учебной деятельности. В своей учебной деятельности школьники воспроизводят реальный процесс создания людьми понятий, образов, ценностей и норм.

Приступая к овладению каким-либо учебным предметом, школьники с помощью учителя анализируют содержание учебного материала, выделяют в нем некоторое сходное общее отношение, обнаруживая, вместе с тем, что оно проявляется во многих других частных отношениях, имеющихся в данном материале, фиксируя в знаковой форме выделенное исходное, общее отношение, школьники тем самым строят содержательную абстракцию изучаемого предмета. Продолжая анализ учебного материала, они раскрывают закономерную связь этого исходного отношения с его различными проявлениями и тем самым получают содержательное обобщение изучаемого предмета.

Затем дети используют содержательные абстракцию и обобщение для последовательного выведения (опять с помощью учителя) других более частных абстракций и для объединения их в целостном (конкретном) учебном предмете.

Таким образом, хотя учебная деятельность школьников развертывается в соответствии со способом изложения уже полученных людьми продуктов духовной культуры, однако внутри этой деятельности в своеобразной форме сохраняются ситуации и действия, которые были присущи реальному созданию таких продуктов, благодаря чему способ их получения сокращенно воспроизводится в индивидуальном сознании школьников.

В процессе систематического выполнения школьниками учебной деятельности у них, наряду с усвоением теоретических знаний, развиваются теоретическое сознание и мышление. В младшем школьном возрасте учебная деятельность является ведущей и главной среди других видов деятельности, выполняемых детьми. Потребность в учебной деятельности побуждает школьников к усвоению теоретических знаний, мотивы - к усвоению способов их построения посредством учебных действий, направленных на решение учебных задач.

Этот путь усвоения знаний имеет две характерные черты. Во-первых, мысль школьников при таком усвоении целенаправленно движется от общего к частному. Во-вторых, такое усвоение направлено на выявление школьниками условий происхождения содержания усваиваемых ими понятий.

Надо иметь в виду, что учитель не формирует учебную деятельность непосредственно. В практике обучения учебная деятельность формируется в ходе решения цепочки учебных задач. Именно учебная задача является основой обучения в системе развивающего обучения Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова. В чем же состоят отличительные особенности учебной задачи по отношению к другим видам задач?

В теории и практике развивающего обучения учебная задача четко отличается от практической. Практическая задача связана с достижением конкретного результата, с получением ответа на вопрос задачи. Учебная задача, как сказано выше, связана с самоизменением ученика. Поэтому одна из важнейших задач учителя в системе развивающего обучения - научить воспринимать задачу практическую как задачу учебную. Иными словами, задачи в учебнике в равной мере могут восприниматься и как практические и как учебные. Когда говорится "учебная задача", имеется в виду не внешний вид, не особенности условий, а подход, отношение к ней.

Существенно отличается учебная задача от многообразных частных задач.

При решении отдельных частных задач школьники овладевают столь же частными способами их решения. Лишь при длительной тренировке школьники усваивают некоторый общий способ решения отдельных частных задач, входящих в тот или иной класс. Усвоение этого способа происходит по эмпирическому принципу движения мысли от частного к формально общему. При постановке и решении общей учебной задачи школьники первоначально овладевают содержательным общим способом решения отдельных частных задач, а затем используют этот способ для безошибочного решения каждой из них.

Решение учебной задачи осуществляется согласно теоретическому принципу, когда такое решение имеет значение "не только для данного частного случая, но и для всех однородных случаев".* мысль школьников двигается при этом от общего к частному.

Итак, при решении учебной задачи школьники овладевают общим способом решения отдельных и частных задач, входящих в определенный класс.

Учебная задача решается школьниками путем выполнения определенных действий. Логическую характеристику этих действий дает В.В.Давыдов:

• преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта;
• моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;
• преобразование модели отношения для изучения его свойств в "чистом виде";
• построение системы частных задач, решаемых общим способом;
• контроль за выполнением предыдущих действий;
• оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи.

Каждое такое действие состоит из соответствующих операций, наборы которых меняются в зависимости от конкретных условий, входящих в ту или иную учебную задачу (известно, что действие соотносится с целью, а его операции - с её условиями).

Школьники первоначально не умеют самостоятельно ставить учебные задачи и выполнять действия по их решению. До поры до времени им помогает в этом учитель, но постепенно соответствующие умения приобретают сами ученики (именно в этом процессе у них формируется самостоятельная учебная деятельность, т.е. умение учиться).

Выбор исходных понятий - это важнейшее условие открытости понятийной системы до детального знакомства с ней. В начало обучения математике в системе Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова положены предельно общие понятия, ядерные, центральные для данной системы, те, из которых система может быть постепенно выведена.

Введение в каждый шаг конкретизации понятий происходит посредством учебных задач. "Поставить перед школьниками учебную задачу - это значит ввести их в ситуацию, требующую ориентации на общий способ её решения во всех возможных частных и конкретных вариантах условий" (Психологический словарь - 1983г. с.386).

Переориентация детского мышления с результатов на способы действия возможна лишь в процессе решения учебных задач. Но что значит поставить перед ребенком учебную задачу? Её недостаточно просто выдвинуть - задача, сформированная учителем, должна быть принята учеником, т.е. стать его собственной задачей. Вопрос, на который предстоит ответить на уроке, должен стать собственным вопросом ученика, иначе он получит от учителя ответ на незаданный, не интересующий его вопрос и распорядится этим ответом так, как любой человек распоряжается случайной информацией, которую он сам не искал, не запрашивал: может быть, заинтересуется, может быть, "пропустит мимо ушей". Постановка учебной задачи связана с двумя принципиально важными "открытиями" учеников:

1. Они должны обнаружить, что чего-то не знают (не владеют способом решения какой-то задачи);
2. Они должны хотеть решить эту задачу, стремиться к её решению;

Поэтому при постановке учебной задачи должны учитываться следующие принципы:

1. Вводимое понятие должно быть предельно общим, с тем, чтобы последующие темы выступали для детей как конкретизация, уточнение первой.
2. Прежде, чем вводить новое знание, необходимо создать ситуацию жизненной необходимости его появления.
3. Не вводить знания в готовом виде. Даже если нет никакой возможности подвести детей к открытию нового, всегда есть возможность создать ситуацию самостоятельного поиска, предварительных догадок и гипотез.
4. Определение или правило (словесная формулировка нового знания) должны появляться не до, а после всей работы по поиску и обнаружению нового. Формулировать правило (определение) детям легче, считывая его со схемы. Это даст возможность не заучивать правила, а каждому ребенку формулировать его своими словами.
5. Логика перехода от задачи к задаче должна быть ясной и открытой для учеников. Если учителю удалось поставить учебную задачу правильно, то ученики смогут, получив ответ на первую задачу, почти самостоятельно поставить следующую.

Систематическое обучение решению математических задач предполагает не только представление об учебной задаче и её особенностях, но и выбор единой теоретической концепции собственно математического содержания. В курсе математики за основу взята теория измерения, которая разрабатывалась французским математиком Лебегом, а позднее была развита академиком Колмогоровым.

Основная задача школьного учебного предмета математики состоит в том, чтобы привести учащихся "к возможно более ясному пониманию концепции действительного числа".* Основы этой концепции должны усваиваться детьми уже в начальной школе. Это значит, что детям с самого начала должно быть раскрыто общее основание всех видов действительного числа. Таким основанием является понятие величины.

Многообразие чисел, объединенных концепцией действительного числа, является конкретизацией понятия величины.

Усвоение детьми концепции действительного числа должно начинаться с овладения ими понятием величины и с изучения её общих свойств. Тогда все виды действительного числа могут быть усвоены детьми на основе конкретизации этих свойств. В таком случае, идея действительного числа будет присутствовать в обучении математике с самого его начала.

Понятие величины связано с отношением "равно", "больше", "меньше". Множество каких-либо предметов тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие установить, будет ли А равно В, больше В или меньше В. В качестве примера математической величины В.Ф.Каган рассматривает натуральный ряд чисел, так как с точки зрения такого критерия, как положение, занимаемое числами в ряду, этот ряд удовлетворяет определенным постулатам и поэтому представляет собой величину. Совокупность дробей также претворяется в величину, а правильное установление критериев сравнения для множества иррациональных чисел (для претворения его в величину) составляет основу современного построения анализа.

Свойства величин раскрываются при оперировании человеком реальными длинами, объемами, грузами, промежутками времени и т.д. (или же при их выражении числами). Возможность организации реальных действий по преобразованию величин допускает введение соответствующего учебного материала уже в 1 -м классе.

В основу обучения математике положена концепция действительного числа. Однако, в отличие от обычной программы, в обучении предусматривается такой вводный раздел, при усвоении которого дети специально изучают генетически исходное основание последующего выведения всех видов действительного числа, а именно изучают понятие величины.

Текстовые задачи строятся детьми как частные случаи выражения некоторых общих закономерностей. Именно таким образом в 1-м классе появляются простые задачи на сложение - вычитание, а во втором - на умножение - деление. Составные задачи (которые требуют выполнения промежуточных операций) строятся детьми во 2-м классе из простых задач при замене буквы, означающей известное данное, буквенным выражением, описывающим операцию дополнительного поиска значения этого данного.

Формированию у учащихся анализа составных текстовых задач основное внимание уделяется во втором классе. При этом дети овладевают способом построения краткой записи условия задачи, его графического изображения (развернутый анализ текста задач постепенно свертывается).

Глубина и значимость открытий, которые делает младший школьник, решая задачи, определяется характером осуществляемой им деятельности и мерой её освоения, тем, какими средствами этой деятельности он владеет. Для того, чтобы ученик уже в начальных классах мог выделить и освоить способ решения широкого класса задач, а не ограничивался нахождением ответа в данной конкретной задаче, он должен овладеть некоторыми теоретическими знаниями о задаче и, прежде всего, о её структуре. Известный отечественный психолог А.Н.Леонтьев писал: "Актуально сознается только то содержание, которое является предметом целенаправленной активности субъекта". Поэтому, чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить её от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств-моделей, однозначно отражающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия младшими школьниками.

В структуре любой задачи выделяют:

1. Предметную область, т.е. объекты, о которых идет речь в задаче.
2. Отношения, которые связывают объекты предметной области.
3. Требование задачи.

Объекты задачи и отношения между ними составляют условие задачи. Связывают объекты отношения "больше", "меньше" и др.

Структуру задачи можно представить с помощью различных моделей. Все модели принято делить на:

• предметные (вещественные);
• графические;
• символические.

К графическим моделям относят рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж (или схему). В педагогической работе важное значение имеют предсхематические действия ребенка, результатом которых являются рисунок и условный рисунок (см. Рис. 1).

Знаковая модель задачи может выполняться как на естественном языке (т.е. имеет словесную форму), так и на математическом (т.е. используются символы).

Знаковая модель задачи, выполненная на естественном языке, -это общеизвестная краткая запись (см. Рис. 2)

Знаковая модель задачи, выполненная на математическом языке, имеет вид выражения: "3+2".

Психологи и многие математики рассматривают процесс решения задачи как процесс поиска подходящей модели и её преобразования. Каждая модель выступает как одна из форм отображения сущности (структуры) задачи, а преобразование её идет по пути постепенного обобщения, абстрагирования и, в конечном результате, построения её математической модели. Таким образом, чтобы решить задачу, надо построить её математическую модель, но помочь в этом могут другие модели, называемые вспомогательными.